Question

设函数f（x）=

m

•

n

，其中

m

=（cosx，

3

sin2x），

n

=（2cosx，1）．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，f（A）=2，a=

3

，b+c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）∵

m

=（cosx，

3

sin2x），

n

=（2cosx，1），
∴f（x）=

m

•

n

=2cos²x+

3

sin2x，（2分）
=cos2x+

3

sin2x+1
=2sin（2x+

π

6

）+1，…（4分）
当2kπ-

π

2

＜2x+

π

6

＜2kπ+

π

2

（k∈Z），
即kπ-

π

3

＜x＜kπ+

π

6

（k∈Z）时，f（x）单调递增，…（5分）
则f（x）的单调增区间是（kπ-

π

3

，kπ+

π

6

）（k∈Z）；…（6分）
（包含或不包含区间端点均可，但要前后一致）．
（2）∵f（A）=2sin（2A+

π

6

）+1=2，0＜A＜π，…（7分）
∴2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

，…（9分），又a=

3

，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：3=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，…（10分）
把b+c=3代入得：bc=2，…（12分）
所以△ABC的面积为S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．…（13分）