Question

把∠A=60°，边长为8的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，则AC与BD的距离为

1. A.
   6
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：折后两条对角线之间的距离的范围可以根据二面角θ的范围求得，故先找出二面角的平面角，取AC的中点E，连接BE、DE，则∠BED=θ，且BE=ED，所以EF⊥BD，再取BD的中点F，由AF=CF可得：EF⊥AC，则折后两条对角线之间的距离为EF的长，所以当θ=120°时，EF取最小值；当θ=60°时，EF取最大值．
解答：解：由题设∠A=60°，边长为8的菱形ABCD，则∠D=120°，由余弦定理得AC²=64+64-2×8×8cos120°=3×64，故有AC=8
令E、F分别是中点，则折后两条对角线之间的距离为EF的长
由题设条件及图形可证得在△AEC中，∠AEC=60°，AE=CE=4
又F是中点，故有直角三角形AFE中，∠AEF=30°，∠EAF=60°，
故有EF=AE×sin60°=4×=6
故选A
点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识，解题的关键是做出二面角的平面角来，本题考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．