Question

已知函数．
（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程；
（2）讨论函数y=f（x）的单调性；
（3）若函数f（x）既有极大值，又有极小值，且当0≤x≤4m时，恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）m=2时，，
f′（x）=x²-4x+3，
函数在（0，0）处切线的斜率为f′（0）=3，
∴在（0，0）处切线方程为：3x-y=0．
（2）函数f（x）的定义域为R，
，
方程的判别式△=4m²-6m，
①当△=4m²-6m≤0，即时，f′（x）≥0对一切实数恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
②当△=4m²-6m＞0，即时，
方程有两不等实根，
，，
当x∈（-∞，x₁）及（x₂，+∞）时，
f′（x）＞0，∴f（x）单调递增；
当x∈（x₁，x₂）时，
f′（x）＜0，∴f（x）单调递减．
综上所述，当时，
f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
当时，f（x）在及上单调递增，
在，上单调递减．
（3）由（2）知方程有两不等根，
△=4m²-6m＞0，即，
令g（x）==，
要使对0≤x≤4m的实数恒成立，
只需g（x）_max≤0即可，
下面求g（x）在x∈[0，4m]上的最大值，
∵g′（x）=x²-4mx+3m²，令g′（x）=（x-m）（x-3m）=0，
则x=m，x=3m，，，
又，，
∴当x∈[0，4m]时，，
∴，
即m≤2，又，
∴m的取值范围为．
分析：（1）m=2时，，f′（x）=x²-4x+3，由此能求出函数在（0，0）处切线方程．
（2）函数f（x）的定义域为R，，方程的判别式△=4m²-6m，由此入手能够分类讨论函数y=f（x）的单调性．
（3）由有两不等根，△=4m²-6m＞0，即，令g（x）==，由此能求出m的取值范围．
点评：本题考查曲线的切线方程的求法，考查函数的单调性的求法，考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质及其应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和等价转化思想的应用．