Question

已知抛物线C:y²=4x.

(1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；

(2)若M(m,0)是x轴上的一定点，Q是(1)所求轨迹上任一点，试问|MQ|有无最小值？若有，求出其值；若没有，说明理由.

Answer 1

解析:

  由抛物线y²=4x,得焦点F(1,0),准线l: x=－1.

(1)设P(x,y)，则B(2x－1,2y),椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|=e,又设点B到l的距离为d,则|BF|∶d=e,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即(2x－2)²+(2y)²=2x(2x－2),化简得P点轨迹方程为y²=x－1(x＞1).

(2)设Q(x,y),则

|MQ|=

(ⅰ)当m－≤1,即m≤时，函数t=[x－(m－)²]+m－在(1，+∞)上递增，故t无最小值，亦即|MQ|无最小值.

(ⅱ)当m－＞1,即m＞时，函数t=[x²－(m－)²]+m－在x=m－处有最小值m－,∴|MQ|_min=.