Question

已知函数f（x）=2ae^x（a＞0，e为自然对数的底数）的图象与直线x=0的交点为M，函数g（x）=ln

x

a

（a＞0）的图象与直线y=0的交点为N，|MN|恰好是点M到函数g（x）=ln

x

a

（a＞0）图象上的最小值，则实数a的值是

 

．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：计算题,导数的综合应用

分析：由题意知M（0，2a），N（a，0）；由|MN|恰好是点M到函数g（x）=ln

x

a

（a＞0）图象上的最小值得k_MN×g′（a）=-1，从而解得．

解答： 解：由题意，f（0）=2a•e⁰=2a；
故M（0，2a）；
g（x）=ln

x

a

=0解得，
x=a；
故N（a，0）；
由g′（x）=

a

x

•

1

a

=

1

x

；
k_MN=

2a-0

0-a

=-2，g′（a）=

1

a

；
则由|MN|恰好是点M到函数g（x）=ln

x

a

（a＞0）图象上的最小值知，
k_MN×g′（a）=-1，
即-2×

1

a

=-1；
解得，a=2．
故答案为：2．

点评：本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义，属于基础题．