Question

为了保护三峡库区的生态环境，凡是坡度在25°以上的坡荒地都要绿化造林，经初步统计，在三峡库区内坡度大于25°的坡荒地面积约有2640万亩，若从2003年初开始绿化造林，第一年造林120万亩，以后每年比前一年多绿化60万亩．
（1）若所有被绿化造林的坡荒地全都成功，问到哪一年底可使库区的坡荒地全部绿化？
（2）若每万亩绿化造林所植树苗的木材量平均为0.1万立方米，每年树木木材量的自然生长率为20%，那么当整个库区25°以上坡荒地全部绿化完成的那一年底，一共有木材多少万立方米？（保留1位小数，1.2⁹=5.16，1.2⁸=4.30）

Answer 1

【答案】分析：（1）由于从2003年初开始绿化造林，第一年造林120万亩，以后每年比前一年多绿化60万亩，设每年应绿化的坡荒地面积为a_n则{a_n}为等差数列，从而可求前n项的和，要使库区的坡荒地全部绿化，则有S_n≥2640，从而问题可解．
（2）设该库区每年拥有木材量为b_n，则有b₁=120×0.1×（1+20%）⁸=12×1.2⁸；b₂=（120+60）×0.1×（1+20%）⁷=18×1.2⁷；…b₈=（120+60×7）×（1+20%）=54×1.2，∴S₈=b₁+b₂+…+b₈=6（2×1.2⁸+3×1.2⁷+…+9×1.2），利用错位相减法可求．
解答：解：（1）设每年应绿化的坡荒地面积为a_n（单位：万亩），则{a_n}为等差数列．
∵a₁=120，d=60，∴S_n=120n+×n（n-1）×60
令S_n≥2640，即4n+n（n-1）≥88，（n+11）（n-8）≥0，n∈N⁺，∴n≥8．
故到第8年底，即2010年底可使库区的坡荒地全部绿化．…（5分）
（2）设该库区每年拥有木材量为b_n（含种植的树苗及自然生长量，单位：万m³）．则
b₁=120×0.1×（1+20%）⁸=12×1.2⁸；
b₂=（120+60）×0.1×（1+20%）⁷=18×1.2⁷；
…
b₈=（120+60×7）×（1+20%）=54×1.2，
∴S₈=b₁+b₂+…+b₈=6（2×1.2⁸+3×1.2⁷+…+9×1.2）（1）…8分
1.2S₈=6（2×1.2⁹+3×1.2⁸+…+9×1.2²）          （2）
由（2）-（1）得 0.2 S₈=6（2×1.2⁹+1.2⁸+1.2⁷+…1.2²-9×1.2）
∴S₈=30[2×1.2⁹+-9×1.2]=30[2×1.2⁹+5（1.2⁹-1.2²）-9×1.2]=30（7×5.16-5×1.44-9×1.2）
=30（36.12-18）=543.6．
故到2010年底共有木材543.6万m³．…（13分）
点评：本题主要考查数列模型的简历，考查错位相减法求和，有一定的综合性．