Question

已知偶函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，求证：函数y=f（x）在区间[-b，-a]上单调递减．若是奇函数，又有怎么样的结论？

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：利用函数单调性的定义以及函数奇偶性的性质，即可得到结论．

解答： 证明：（单调递减）
设-b＜x₁＜x₂＜-a，则b＞-x₁＞-x₂＞a，
∵y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，
∴f（-x₁）＞f（-x₂），
∵y=f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即f（-x₁）＞f（-x₂）等价为f（x₁）＞f（x₂），
则函数y=f（x）在区间[-b，-a]上单调递减．
②若y=f（x）是奇函数，
则f（-x）=-f（x），
即f（-x₁）＞f（-x₂）等价为-f（x₁）＞-f（x₂），
∴（x₁）＜f（x₂），
则函数y=f（x）在区间[-b，-a]上单调递增．

点评：本题主要考查函数单调性的证明，根据函数单调性的定义以及函数奇偶性的性质是解决本题的关键．