Question

已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边为6，高为4的等腰三角形，求该几何体的表面积．

Answer 1

分析：根据题意，该几何体是一个四棱锥，其底面是边长分别为6和8的矩形，侧棱长均相等且高SO=4．因此利用线面垂直的性质结合勾股定理算出等腰△SAB和等腰△SCB的高长，从而算出四个侧面等腰三角形的面积，结合矩形ABCD的面积即可得到该几何体的全面积．

解答：解：由三视图可判断几何体为四棱锥，其直观图如图：
可得该几何体是底面边长分别为6和8的矩形，
且侧棱长均相等的四棱锥，高长为SO=4，如图所示
因此，等腰△_SAB的高SE=

SO2+OE2

=5
等腰△_SCB的高SF=

SO2+OF2

=

42+42

=4

2

∴S_△SAB=S_△SCD=

1

2

×AB×SE=20，
S_△SCB=S_△SAD=

1

2

×CB×SF=12

2

，
∵矩形ABCD的面积为6×8=48，
∴该几何体的表面积为
S_全=S_△SAB+S_△SCD+S_△SCB+S_△SAD+S_ABCD
=2×20+2×12

2

+48=24

2

+88．
∴几何体的表面积为88+24

2

．

点评：本题给出四棱锥的三视图，要我们根据题中数据计算四棱锥的全面积，着重考查了线面垂直的性质、三视图的理解和锥体表面积计算等知识．