Question

17．已知正数a，b，c满足b+c≥a，则$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{a+b}$的最小值为$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意变形可得$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{a+b}$≥$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{2b+c}$=（$\frac{b}{c}$+$\frac{1}{2}$）+$\frac{c}{2b+c}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{2b+c}{2c}$+$\frac{c}{2b+c}$-$\frac{1}{2}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵正数a，b，c满足b+c≥a，
∴$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{a+b}$≥$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{2b+c}$=（$\frac{b}{c}$+$\frac{1}{2}$）+$\frac{c}{2b+c}$-$\frac{1}{2}$
=$\frac{2b+c}{2c}$+$\frac{c}{2b+c}$-$\frac{1}{2}$≥$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$
当且仅当$\frac{2b+c}{2c}$=$\frac{c}{2b+c}$时取等号．
故答案为：$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$

点评 本题考查基本不等式求式子的最值，凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．