Question

若直线l过抛物线y²=4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为2，求线段AB的长．

Answer 1

分析：根据抛物线方程得它的准线为l'：x=-1，从而得到线段AB中点M到准线的距离等于3．过A、B分别作AC、BD与l'垂直，垂足分别为C、D，根据梯形中位线定理算出|AC|+|BD|=2|MN|=6，结合抛物线定义即可算出AB的长．

解答：解：∵抛物线方程为y²=4x，
∴抛物线的焦点为F（1，0），准线为l'：x=-1
设线段AB的中点为M（2，y₀），
则M到准线的距离为：|MN|=2-（-1）=3，
过A、B分别作AC、BD与l'垂直，垂足分别为C、D
根据梯形中位线定理，可得|AC|+|BD|=2|MN|=6
再由抛物线的定义知：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|
∴|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=6．
即线段AB的长为6

点评：本题给出过抛物线y²=4x焦点的一条弦中点的横坐标，求该弦的长度．着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．