Question

如图，已知椭圆，左、右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，上顶点为B，P为椭圆上在第一象限内一点，
（1）若，求椭圆的离心率；
（2）若，求直线PF₁的斜率k；
（3）若成等差数列，椭圆的离心率e∈，求直线PF₁的斜率k的取值范围。

Answer 1

解：（1）∵，
∴，
∵a-c=2c，
∴；
（2）设PF₁的直线方程为y=k（x+c），
∵，
∴，
∴b-kc=2kc，
∴b=3kc，
∵a=3c，
∴b=2c，
∴k=。
（3）设=t，
则，
∵P在第一象限，
∴，，
∴，
∴2t=，
∴，
∴。
∴，
∴，
∴，
又由已知，
∴，
∴
（令m=6e-1，∴）
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴。