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已知点Pn(an,bn)都在直线L:y=2x+2上,P1为直线L与x轴的交点,数列{an}成等差数列,公差为1(n∈N*).
(I)求数列{an},{bn}的通项公式;
(II)求证:
1
4
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
2
5
(n≥3,n∈N*).
分析:(I)由题设知P1(-1,0),an=-1+(n-1)×1=n-2,bn=2(n-2)+2=2n-2.
(II)由Pn(n-2,2n-2),知|P1Pn|=
5
(n-1),(n≥3),由此能够证明
1
4
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
2
5
(n≥3,n∈N*).
解答:解:(I)∵P1为直线L:y=2x+2与x轴的交点,
∴当y=0时,x=-1,即P1(-1,0).
∴a1=-1,b1=0,
∵数列{an}成等差数列,公差为1(n∈N*),
∴an=-1+(n-1)×1=n-2,
∵点Pn(an,bn)都在直线L:y=2x+2上,
∴bn=2(n-2)+2=2n-2
(II)∵Pn(n-2,2n-2),
∴|P1Pn|=
5
(n-1),(n≥3)
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
=
1
5
[1+
1
22
+
1
32
+…+
1
(n-1)2
]
1
5
[1+
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
(n-2)(n-1)
]=
1
5
[1+1-
1
n-1
]<
2
5
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
=
1
5
[1+
1
22
+
1
32
+…+
1
(n-1)2
]
1
5
[1+
1
22
+
1
3×4
+…+
1
(n-1)(n)
]=
1
5
[1+
1
4
+
1
3
-
1
n
]>
1
4

1
4
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
2
5
(n≥3,n∈N*).
点评:本题考查数列的通项公式的求法和不等式的证明,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,注意放缩法的合理运用.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(理)已知点A(1,0),B(0,1)和互不相同的点P1,P2,P3,…,Pn,…,满足
OPn
=an
OA
+bn
OB
(n∈N*)
,O为坐标原点,其中{an}、{bn}分别为等差数列和等比数列,P1是线段AB的中点,对于给定的公差不为零的an,都能找到唯一的一个bn,使得P1,P2,P3,…,Pn,…,都在一个指数函数
 
(写出函数的解析式)的图象上.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点集L={(x,y)|y=
m
n
},其中
m
=(2x-b,1),
n
=(1,b+1),点列Pn(an,bn)(n∈N+)在L中,p1为L与y轴的交点,数列{an}是公差为1的等差数列.
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若f(n)=
an,(n为奇数)
bn,(n为偶数)
,令Sn=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n),试写出Sn关于n的表达式;
(Ⅲ)若f(n)=
an,(n为奇数)
bn,(n为偶数)
,给定奇数m(m为常数,m∈N+,m>2).是否存在k∈N+,,使得
f(k+m)=2f(m),若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点集L={(x,y)|y=
m
n
}
,其中
m
=(2x-b,1),
n
=(1,b+1),点列Pn(an,bn)在L中,P1为L与y轴的交点,等差数列{an}的公差为1,n∈N*
(I)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若f(n)=
an  n为正奇数
bn  n为正偶数
,令Sn=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n);试写出Sn关于n的函数解析式;

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点集L={(x,y)|y=
m
n
}
,其中
m
=(2x-b,1),
n
=(1,1+b)
,又知点列Pn(an,bn)∈L,P1为L与y轴的交点.等差数列{an}的公差为1,n∈N*
(Ⅰ)求Pn(an,bn);
(Ⅱ)若f(n)=
an,n=2k-1
bn,n=2k
k∈N*,f(k+11)=2f(k)
,求出k的值;
(Ⅲ)对于数列{bn},设Sn是其前n项和,是否存在一个与n无关的常数M,使
Sn
S2n
=M
,若存在,求出此常数M,若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点集L={(x,y)|y=
m
n
}
,其中
m
=(2x-b,1),
n
=(1,b+1)
,点列Pn(an,bn)在L中,P1为L与y轴的交点,等差数列{an}的公差为1,n∈N+
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若f(n)=
an(n=2k-1)
bn(n=2k)
(k∈N+)
,是否存在k∈N+使得f(k+11)=2f(k),若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
(3)求证:
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
2
5
(n≥2,n∈N*).

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