Question

【题目】已知函数h（x）＝x2ex，f（x）＝h（x）﹣aex（a∈R）．

（Ⅰ）求函数h（x）的单调区间；

（Ⅱ）若x1，x2∈（1，2），且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，求a的取值范围；

（Ⅲ）若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求证：f（x1）f（x2）＜4e﹣2．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）增区间是（﹣∞，﹣2），（0，+∞）；减区间是（﹣2，0）．（Ⅱ）（3，8）．（Ⅲ）见解析

【解析】

（Ⅰ）求得函数的导数，根据函数f（x）导数的符号，然后确定原函数的单调性；

（Ⅱ）要满足题意，只需函数在（1，2）内有增有减，即存在极值点，则问题转化为函数的导数在（1，2）内存在变号根即可；

（Ⅲ）先求出f（x）的两个极值点，然后对两个极值点的函数值结合单调性作比较来证明结论．

（Ⅰ）h（x）＝x2ex，∴h′（x）＝ex（x2+2x），

当x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）的增区间是（﹣∞，﹣2），（0，+∞）；

当x∈（﹣2，0）时，h′（x）＜0，所以h（x）的减区间是（﹣2，0）．

（Ⅱ）依题意，函数f（x）＝ex（x2﹣a）在（1，2）上不是单调函数，

因为f（x）是连续函数，所以f（x）在（1，2）上需有极值，

由于f′（x）＝ex（x2+2x﹣a），即x2+2x﹣a＝0在（1，2）内有变号根，

令u（x）＝x2+2x﹣a，显然该函数在（1，2）上递增，

故需，即，解得3＜a＜8，

所以a的范围是（3，8）．

（Ⅲ）由h（x）＝x2ex，f（x）＝h（x）﹣aex，则f（x）＝x2ex﹣aex，

可得f′（x）＝ex（x2+2x﹣a），

设方程ex（x2+2x﹣a）＝0的两个不等实根是x1，x2，

则首先满足△＝4+4a＞0，解得a＞﹣1，

又由x2+2x﹣a＝0，解得，，此时x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣a．

随着x的变化，f′（x），f（x）的变化如下：

x	（﹣∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

所以x1是函数f（x）的极大值点，x2是f（x）的极小值点．所以f（x1）是极大值，f（x2）是极小值，

，

又因为，所以

所以．