Question

（2010•烟台一模）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证AM∥平面BDE；
（2）试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°．

Answer 1

分析：（1）由题意建立空间直角坐标系，利用向量平行得到线线平行，从而说明线面平行；
（2）设出线段AC上P点的坐标，由PF与CD所成的角是60°，得到向量

PF

与

CD

所成的角的余弦值的绝对值等于

1

2

，由此可求得P点的坐标．

解答：（1）证明：如图建立空间直角坐标系．设AC∩BD=N，
连结NE，则N(

2

2

，

2

2

，0)，E（0，0，1）∴

NE

=(-

2

2

，-

2

2

，1)
又A(

2

，

2

，0)，M(

2

2

，

2

2

，1)，
∴

AM

=(-

2

2

，-

2

2

，1)．
∴

NE

=

AM

，且NE与AM不共线，
∴NE∥AM，又NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE．
（2）设P（t，t，0）(0≤t≤

2

)，
则

PF

=(

2

-t，

2

-t，1)，

CD

=(

2

，0，0)．
又∵

PF

与

CD

所成的角为60°，∴

|( 2 -t)• 2 |

( 2 -t)2+( 2 -t)2+1 • 2

=

1

2

，
解之得t=

2

2

或t=

3 2

2

（舍去），
故点P为AC的中点时满足题意．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了直线与直线所成角的求法，解答的关键是建立正确的右手系，利用向量证明线面平行时，最后要回归到直线与平面平行，是中档题．