Question

过直线l：5x-7y-70=0上的点P作椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的切线PM、PN，切点分别为M、N，连接MN．
（1）当点P在直线l上运动时，证明：直线MN恒过定点Q．
（2）当MN∥l时，定点Q平分线段MN．

Answer 1

分析：（1）设P（x₀，y₀）、M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）．则椭圆过点M、N的切线方程分别为

x1x

25

+

y1y

9

=1，

x2x

25

+

y2y

9

=1，
M、N均在直线

x0x

25

+

y0y

9

=1，推出当点P在直线l上运动时，MN的方程x0(

x

25

+

5y

63

)-(

10y

9

+1)=0，然后说明直线MN恒过定点Q．
（2）当MN∥l时，可得

x0 25

5

-

5x0-70 63

-7

≠

-1

-70

.化简MN的方程与椭圆联立，利用韦达定理，证明定点Q平分线段MN．

解答：（1）：证明：设P（x₀，y₀）、M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）．
则椭圆过点M、N的切线方程分别为

x1x

25

+

y1y

9

=1，

x2x

25

+

y2y

9

=1．（3分）
因为两切线都过点P，则有

x1x0

25

+

y1y0

9

=1，

x2x0

25

+

y2y0

9

=1．
这表明M、N均在直线

x0x

25

+

y0y

9

=1①上．由两点决定一条直线知，式①就是直线MN的方程，
其中（x₀，y₀）满足直线l的方程．（6分）
当点P在直线l上运动时，可理解为x₀取遍一切实数，相应的y₀为y0=

5

7

x0-10.
代入①消去y₀得

x0

25

x+

5x0-70

63

y-1=0②
对一切x₀∈R恒成立．（9分）
变形可得x0(

x

25

+

5y

63

)-(

10y

9

+1)=0
对一切x₀∈R恒成立．故有

x 25 + 5y 63 =0 10y 9 +1=0

由此解得直线MN恒过定点Q(

25

14

，-

9

10

)．（12分）
（2）当MN∥l时，由式②知

x0 25

5

-

5x0-70 63

-7

≠

-1

-70

.解得x0=

4375

533

.
代入②，得此时MN的方程为5x-7y-

533

35

=0③
将此方程与椭圆方程联立，消去y得

533

25

x2-

533

7

x-

128068

1225

=0.（15分）
由此可得，此时MN截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点Q(

25

14

，-

9

10

)的横坐标，
即x=

x1+x2

2

=-

-533 7

2× 533 25

=

25

14

.
代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点Q(

25

14

，-

9

10

)的纵坐标，
即y=

5

7

×

25

14

-

533

7×35

=

1

49

(

125

2

-

533

2

)=-

9

10

.
这就是说，点Q(

25

14

，-

9

10

)平分线段MN．（15）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的交点，中点坐标公式，平行线等分线段定理，考查计算能力，转化思想，方程与函数思想，是中档题．