Question

若集合具有以下性质：

①，；

②若，则，且时，.

则称集合是“好集”.

（Ⅰ）分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；

（Ⅱ）设集合是“好集”，求证：若，则；

（Ⅲ）对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由.

命题：若，则必有；

命题：若，且，则必有；

Answer 1

解：（Ⅰ）集合不是“好集”. 理由是：假设集合是“好集”.

因为，，所以. 这与矛盾.

　 ………………………………………2分

有理数集是“好集”. 因为，,

对任意的，有，且时，.

所以有理数集是“好集”.　　　　　　　 ………………………………………4分

（Ⅱ）因为集合是“好集”，21世纪教育网

所以 .若，则，即.

所以，即.　　　　 ………………………………………7分

（Ⅲ）命题均为真命题. 理由如下：　　 ………………………………………9分

对任意一个“好集”，任取，

若中有0或1时，显然.

下设均不为0，1. 由定义可知：.

所以 ，即.

所以 .

由（Ⅱ）可得：，即. 同理可得.

若或，则显然.

若且，则.

所以 .

所以

由（Ⅱ）可得：.

所以 .

综上可知，，即命题为真命题.

若，且，则.

所以 ，即命题为真命题.　 ……………………………………14分