Question

14．已知函数f（x）=x|x-a|+b（x∈R）．
（1）当0≤x≤a时，求函数f（x）的最大值；
（2）当a=1，b=-1时，求不等式f（x）≥|x|的解集；
（3）若b＜0，且对任意x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据x的范围，求出函数f（x）的导数，从而求出函数的单调区间；
（2）将a，b的值代入不等式，通过讨论x的范围，从而求出不等式的解集；
（3）通过讨论a的范围，去掉绝对值，结合函数的单调性，从而求出a的范围．

解答 解：（1）∵0≤x≤a，
∴f（x）=-x²+ax+b，
f′（x）=-2x+a，
令f′（x）＞0，解得：x＜$\frac{a}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{a}{2}$，
∴函数f（x）在（0，$\frac{a}{2}$）递增，在（$\frac{a}{2}$，+∞）递减，
∴f（x）_最大值=f（x）_极大值=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+b；
（2）a=1，b=-1时，f（x）=x|x-1|-1，
求不等式f（x）≥|x|的解集，
即为求x|x-1|-1≥|x|的解集，
①x≤0时，x（1-x）-1≥-x，
∴（x-1）²≤0，无解，
②0＜x＜1时，x（1-x）-1≥x，
∴x²+1≤0，无解，
③x≥1时，x（x-1）-1≥x，
∴x²-2x-1≥0，解得：x≥1+$\sqrt{2}$，
综上，不等式的解集是：{x|x≥1+$\sqrt{2}$}；
（3）①若a≤0，则f（x）=x²-ax+b，f（x）在x∈[0，1]上单调递增，
只需满足f（1）＜0，即1+b＜a＜1-b，
所以1+b＜a≤0（特别的，当1+b≥0时，a无解）
②若0＜a＜1，则当x＜a时，f（x）=-x²+ax+b，f（x）在x=$\frac{a}{2}$取最大值．
只需满足，f（$\frac{a}{2}$）＜0，即-$\sqrt{-b}$＜a＜$\sqrt{-b}$，所以0＜a＜min（$\sqrt{-b}$，1），
当x≥a时，f（x）=x²-ax+b，f（x）单调递增，
只需满足f（1）＜0，即$\left\{\begin{array}{l}{1+b＜a＜1-b}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，
∴0＜a＜$\sqrt{-b}$且a＜1且a＞1+b，
③若1≤a＜2，f（x）=-x²+ax+b，f（x）在x=$\frac{a}{2}$取最大值．
只需满足，f（$\frac{a}{2}$）＜0，即-$\sqrt{-b}$＜a＜$\sqrt{-b}$，
所以1≤a＜$\sqrt{-b}$且a＜2（特别的，当$\sqrt{-b}$≤1时，a无解）
④若a≥2，f（x）=-x²+ax+b，f（x）在x∈[0，1]上单调递减，
 只需满足f（0）＜0，显然满足题意．
综合①②③④，得a取值范围为：
1+b＜a≤0或0＜a＜$\sqrt{-b}$且a＜1且a＞1+b或1≤a＜$\sqrt{-b}$且a＜2或a≥2．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想，（3）问难度较大，注意将a的范围的划分，本题是一道难题．