Question

9．如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，$AB=BC=\frac{1}{2}AD$，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．
（1）求证：AP∥平面BEF；
（2）求证：GH∥平面PAD．

Answer 1

分析 （1）连接EC，推导出四边形ABCE是平行四边形，从而FO∥AP，由此能证明AP∥平面BEF．
（2）连接FH，OH，推导出FH∥PD，从而FH∥平面PAD．再求出OH∥AD，从而OH∥平面PAD，进而平面OHF∥平面PAD，由此能证明GH∥平面PAD．

解答 证明：（1）连接EC，∵AD∥BC，$BC=\frac{1}{2}AD$，
∴BC=AE，BC∥AE，∴四边形ABCE是平行四边形，
∴O为AC的中点．
又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，
又∵FO?平面BEF，AR?平面BEF，
∴AP∥平面BEF．
（2）连接FH，OH，
∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD，
又∵PD?平面PAD，FH?平面PAD，
∴FH∥平面PAD．
又∵O是BE的中点，H是CD的中点，
∴OH∥AD，AD?平面PAD，OH?平面PAD，
∴OH∥平面PAD．
又∵FH∩OH=H，∴平面OHF∥平面PAD，
又∵GH?平面OHF，
∴GH∥平面PAD．

点评 本题考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．