Question

下面一组图是某一四棱锥S-ABCD的侧面和底面，且点C为离点S最远的顶点，

（1）画出四棱锥S-ABCD的示意图，并判断是否存在一条侧棱垂直于底面？说明理由
（2）若E为AB的中点，求点A到平面BDE的距离
（3）若S-ABCD外接于球O，求S、C两点的球面距离．

Answer 1

分析：（1）由 SA⊥AB，SA⊥AD 可得，存在一条侧棱SA垂直于底面．
（2）证明出BD⊥面SAC即可证出平面SAC⊥平面SBD，由面面垂直的性质定理，由A向平面SAC与平面SBD的交线作垂线，构造直角三角形解决点A到平面SBD的距离．
（3）SC为 S-ABCD外接于球O的直径，则S、C两点的球面距离为大圆的周长的一半．

解答：解：（1）存在一条侧棱SA⊥平面ABCD，如图所示．
∵在△SAB中，SA⊥AB，在△SAD中，SA⊥AD
又∵AB∩AD=A，∴SA⊥平面ABCD．
（2）

SA⊥面ABCD BD?面ABCD

⇒BD⊥SA
又BD⊥AC，AC∩SA=A
由线面垂直的判定定理，
BD⊥面SAC，又BD?面SBD
由面面垂直的判定定理平面SAC⊥平面SBD    
设O'为底面中心，则 平面SAC∩平面SBD=SO'
                                                             
过A作AH⊥SO'，垂足为H，由面面垂直的性质定理，AH⊥面SBD，
所以AH即为所求，在直角三角形SAO中，SO'²=SA²+AO'^2₌  a2+(

2 a

2

) =

3

2

a2
   SA×AO'=SO'×AH，∴AH=

a× 2 a 2

6a 2

=

3a

3

          
（3）SC为 S-ABCD外接于球O的直径，则S、C两点的球面距离πR=

3 aπ

2

点评：本题考查线面垂直、面面垂直定义，判定，性质．以及空间距离的求解．平面问题与空间问题相互转化的思想方法，考查计算能力．