Question

已知可行域的外接圆C₁与x轴交于点A₁、A₂，椭圆C₂以线段A₁A₂为长轴，离心率
（1）求圆C₁及椭圆C₂的方程
（2）设椭圆C₂的右焦点为F，点P为圆C₁上异于A₁、A₂的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线x=2于点Q，判断直线PQ与圆C₁的位置关系，并给出证明．

Answer 1

解：（1）由题意可知，可行域是以为顶点的三角形
因为
∴△A₁A₂M为直角三角形
∴外接圆C₁是以原点O为圆心，线段|A₁A₂|=为直径的圆故其方程为x²+y²=2
设椭圆的方程为
∵
∴∴c=1，可得b=1
故椭圆C₂的方程为
（2）直线PQ始终与圆C₁相切。设
当x₀=1时，P（1，1）或P（1，﹣1），此时Q（2，0）
若
k_OPk_PQ=﹣1
∴OP⊥PQ
若
k_OPk_PQ=﹣1
∴OP⊥PQ  
即  当x₀=1时，OP⊥PQ，直线PQ与圆C₁相切
当
所以直线OQ的方程为，因此点Q的坐标为（2，
∵
∴当x₀=0时，k_PQ=0，OP⊥PQ
∴当，
∴k_OPk_PQ=﹣1  ，  OP⊥PQ
综上，当时，OP⊥PQ，故直线PQ始终与圆C₁相切