Question

如图，是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽，它是由一连串直角三角形演化而成的，其中OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A₇A₈=1，它可以形成近似的等角螺线．记a_n=|OA_n|，n=1，2，3，…．
（1）写出数列的前4项；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式（不要求证明）；
（3）若数列{b_n} 满足bn=

1

an+an+1

，试求数列{b_n} 的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n=|OA_n|，可以求出a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）由a₁，a₂，a₃，a₄可以猜想数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）由 bn=

1

an+an+1

=

1

n + n+1

=

n+1

-

n

，可得其前n项和S_n．

解答：解：（1）数列{a_n}中，由a_n=|OA_n|，得a₁=|OA₁|=1，a₂=|OA₂|=

12+12

=

2

，a₃=|OA₃|=

12+( 2 )2

=

3

，
a₄=|OA₄|=

12+( 3 )2

=2；
（2）由a₁=1，a₂=

2

，a₃=

3

，a₄=2=

4

，可以猜想数列{a_n}的通项公式为：a_n=

n

（其中n∈N^*）；
（3）在数列{b_n}中，因为bn=

1

an+an+1

=

1

n + n+1

=

n+1 - n

( n+1 )2-( n )2

=

n+1

-

n

，所以其前n项和为：
S_n=（

2

-

1

）+（

3

-

2

）+（

4

-

3

）+…+（

n+1

-

n

）=

n+1

-1．

点评：本题考查了数列的通项公式及其前n项和S_n定义的应用，解题时应明确题意，理清解题思路，认真解答，以免出错．