Question

2．已知（1ncosx）′=-tanx，则由曲线y=sin2x与y=tanx（-$\frac{π}{2}$＜x＜$\frac{π}{2}$）围成的封闭图形的面积为1-ln2．

Answer 1

分析 先令tanx=sin2x，解得x=$\frac{π}{4}$或x=-$\frac{π}{4}$，得到积分区间，再根据公式计算．

解答 解：当-$\frac{π}{2}$＜x＜$\frac{π}{2}$时，令tanx=sin2x，
解得x=$\frac{π}{4}$或x=-$\frac{π}{4}$，
两函数图象围成封闭图形如右图：
两部分面积相等，所以只需计算右侧部分，即
S_阴影=2×${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$（sin2x-tanx）dx
=2（-$\frac{1}{2}$cos2x+lncosx）${|}_{0}^{\frac{π}{4}}$
=2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$ln2）
=1-ln2．
故答案为：1-ln2．

点评 本题主要考查了定积分在求面积中的应用，涉及正弦函数，正切函数的定积分运算，属于中档题．