Question

函数 (a>0)，

① 对于给定的a，设函数的最大值为M (a)，最小值为m (a)，求M (a)，m (a)的解析式及定义域；

② h (a)=M (a)—m (a)，求h (a)的解析式；

③ 变动a，求h (a)的最小值及相应的a的值；

④ 求不等式h (a)>1的解集．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：① －1≤x≤1  可设x=sinθ  f (sinθ)=sin2θ+2 lga ·cosθ        =－cos2θ+2 lga ·cosθ+1        =－(cosθ－lga)2+lg2a+1， 记cosθ=t，0≤t≤1，考虑． 易知： ②  ③  当0<a≤1时  1－2lga的最小值为1  (a=1时取到)； 当时  lg2a－2lga+1=(lga－1)2时，最小值为 (时取到)； 当时  lg2a的最小值为 (时取到)； 当a≥10时  2lga－1的最小值为1  (a=10时取到) ． 综上，h (a)=M (a)—m (a)的最小值为． ④  h (a)=lg2a－2lg a+1=(lg a－1)2，且， ∴  ， 又 ， 故解不等式h (a)>1只需   令  或 ． 解之：得0<a<1或a>0． 故h (a)>1的解集为 {a|0<a<1或a>10}． 另解：分段画出h (a)的草图，图中A(1，1)，，C (10，1)． 可见，不等式h(a)>1的解集是 a∈(0，1)∪(10，+∞)．