Question

如图，已知N(

5

，0)，P是圆M：(x+

5

)2+y2=36（M为圆心）上一动点，线段PN的垂直平分线m交PM于Q点．
（Ⅰ）求点Q的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若直线y=x+b与曲线C相交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆的定义，可得点Q在以M、N为焦点的椭圆上，由此可求点Q的轨迹C的方程；
（Ⅱ）直线方程代入椭圆方程，求得|AB|，再求出点O到直线AB的距离，可得△AOB面积，利用基本不等式可求最值．

解答：解：（Ⅰ）由题意得：|PQ|=|QN|，|QM|+|QP|=|MP|
∴|QM|+|QN|=|MP|
∵P是圆M：(x+

5

)2+y2=36（M为圆心）上一动点，
∴|MP|=6
∴|QM|+|QN|=6
∵M（-

5

，0，N（

5

，0），|MN|=2

5

＜6
∴点Q在以M、N为焦点的椭圆上，即c=

5

，a=3，
∴b²=a²-c²=4
∴点Q的轨迹方程为

x2

9

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）直线y=x+b，代入椭圆方程，消去y可得13x²+18bx+9b²-36=0
△=（18b）²-4×13×（9b²-36）＞0，∴-

13

＜b＜

13

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

18b

13

，x₁x₂=

9b2-36

13

∴|AB|=

2

|x₁-x₂|=

12 2

13

•

13-b2

设点O到直线AB的距离为d，则d=

|b|

2

∴△AOB面积S=

1

2

|AB|d=

1

2

•

12 2

13

•

13-b2

•

|b|

2

=

6

13

b2(13-b2)

≤

6

13

•

b2+13-b2

2

=3
当b=±

26

2

时，等号成立
∴当b=±

26

2

时，面积的最大值为3．

点评：本题考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查基本不等式，属于中档题．