Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A且与AF垂直的光线经椭圆的右准线反射，反射光线与直线AF平行．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设入射光线与右准线的交点为B，过A，B，F三点的圆恰好与直线3x一y+3=0相切，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）因为入射光线与反射光线垂直，所以入射光线与准线所成的角为45°，由此能求出椭圆的离心率．
（2）由b=c，a=

2

c，得A（0，c），B（2c，-c），由AF⊥AB，知过A，B，F三点的圆的圆心坐标为(

c

2

，-

c

2

)，半径r=

1

2

FB=

10

2

c，由此能够求出椭圆的方程．

解答：解：（1）因为入射光线与反射光线垂直，
所以入射光线与准线所成的角为45°，…（2分）
即∠FAO=45°，
所以b=c，
所以椭圆的离心率为

2

2

．                                                    …（6分）
（2）由（1）知b=c，a=

2

c，
可得A（0，c），B（2c，-c），又AF⊥AB，
所以过A，B，F三点的圆的圆心坐标为(

c

2

，-

c

2

)，
半径r=

1

2

FB=

10

2

c，…（8分）
因为过A，B，F三点的圆恰好与直线3x-y+3=0相切，…（10分）
所以圆心到直线3x-y+3=0的距离等于半径r
，即

| 3 2 c+ 1 2 c+3|

10

=

10

2

c，
得c=1，…（14分）
所以b=1，a=

2

，
所以椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．   …（16分）

点评：本题考查解三角形在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要注意余弦定理和数形结合思想的灵活运用．