Question

已知集合A的全体元素为实数，且满足若a∈A，则

a-1

a+1

∈A．
（1）若a=2，求出A中的所有元素；
（2）0是否为A中的元素？请再举例一个实数，求出A中的所有元素；
（3）根据（1）、（2），你能得出什么结论？

Answer 1

分析：（1）由已知中若a∈A，则

a-1

a+1

∈A，由a=2∈A，可得

1

3

∈A，再由

1

3

∈A，可得2∈A，进而得到A中的所有元素；
（2）根据已知中若a∈A，则

a-1

a+1

∈A，令0∈A，可得-1∈A，根据此时

a-1

a+1

中分母为0，式子无意义，即可得到结论；
（3）根据已知中若a∈A，则

a-1

a+1

∈A，结合（1）的结论可得

a-1

a+1

∈A，-

1

a

∈A，

1+a

1-a

∈A，而根据（2）的结论，可得要使

a-1

a+1

，-

1

a

，

1+a

1-a

三式均有意义，应有a≠0，a≠±1．

解答：解：（1）a=2时，2∈A，则

2-1

2+1

=

1

3

∈A…（2分）

1

3

∈A，则

1 3 -1

1 3 +1

=-

1

2

∈A；-

1

2

∈A，则

- 1 2 -1

- 1 2 +1

=-3∈A；-3∈A，则

-3-1

-3+1

=2∈A．
∴A中的元素有

1

3

，-3，-

1

2

，2（4分） 
（2）0不是A中的元素，若0∈A，则

0-1

0+1

=-1∈A，-1∈A，则

-1-1

-1+1

无意义．（6分）  
假设3∈A，则-

1

3

∈A，

1

2

∈A，-2∈A．…（8分） 
（3）由（1）、（2）可得到的结论是若实数a∈A（a≠0，a≠±1），则

a-1

a+1

∈A，-

1

a

∈A，

1+a

1-a

∈A．…（12分） 
（未标明a≠0与a≠±1或掉一个扣1分；结论中-

1

a

或

1+a

1-a

掉一个扣1分）

点评：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中根据已知中若a∈A，则

a-1

a+1

∈A，将已知条件代入进行递推是解答本题的关键，在（3）的解答中易忽略使

a-1

a+1

，-

1

a

，

1+a

1-a

三式均有意义时，对a的限制，而不能得到满分．