Question

棱长都为

2

的四面体的四个顶点在同一球面上，则这个球的体积为（（　　）

• A．

  3 π

  2

• B．

  4π

  3

• C．

  3 3 π

  2

• D．3π

Answer 1

分析：把四面体补成正方体，两者的外接球是同一个，求出正方体的棱长，然后求出正方体的对角线长，就是球的直径，即可求出球的体积．

解答：解：如图，将四面体补成正方体，则正方体的棱长是1，正方体的对角线长为：

3

棱长都为

2

的四面体的四个顶点在同一球面上，则正方体的八个顶点也在同一球面上，正方体的对角线就是球的直径．
则球的半径R=

3

2

∴球的体积为

4

3

π×(

3

2

)3=

3 π

2

故选A．

点评：本题考查球的体积，考查空间想象能力，正四面体的外接球转化为正方体外接球，使得问题的难度得到降低，问题得到解决，注意正方体的对角线就是球的直径，也是比较重要的．