Question

如图，四面体ABCD中，点O是BD的中点，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=，

（1）求证：平面ABD⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值。

Answer 1

（1）证明：连结AO，
∵O为BD的中点，AB=AD，
∴AO⊥BD，BC=CD，
∴BD⊥CO，
∴，
在△AOC中，由已知可得AO=1，，AC=2，
∴∠AOC=90°，
即AO⊥OC，
又AO⊥BD，BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD，
又∵AO平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BCD。
（2）解：取AC的中点M，BC的中点E，连接ME，OE，OM，
则ME∥AB，OE∥DC，
∴∠OEM（或其补角）为异面直线AB与CD所成的角，
在△OME中，，
∵OM是Rt△AOC斜边AC上的中线，
∴
∴
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为。