Question

如图，椭圆C：（a＞b＞0），经过点（0，1），椭圆上点到焦点的最远距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）过（1，0）点的直线L与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点A′（A′与B不重合），求证直线A′B与x轴交于一个定点，求此点坐标．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵椭圆C：（a＞b＞0），经过点（0，1），椭圆上点到焦点的最远距离为，
∴
∵b²=a²-c²
∴
∴a=2
∴椭圆C的方程为；
（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A′（x₁，-y₁），
直线AB的方程代入椭圆方程可得（1+4k²）x²-8k²x+k²-4=0
∴x₁+x₂=，
又直线A′B的方程为y-y₂=（x-x₂）
令y=0可得x====4
∴直线A′B与x轴交于一个定点，坐标为（4，0）．
分析：（Ⅰ）根据椭圆C：（a＞b＞0），经过点（0，1），椭圆上点到焦点的最远距离为，建立方程组，结合b²=a²-c²，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设出点的坐标，直线AB的方程，代入椭圆方程，可得直线A′B的方程，利用韦达定理，即可证得结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．