Question

如图，正四棱锥S-ABCD 的底面是边长为a的正方形，O为底面对角线交点，侧棱长是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点，
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，F为SD中点，求证：BF∥平面PAC；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）连接SO， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AC⊥BD且O为AC的中点， 又∵SA=SC， ∴SO⊥AC， 又， ∴AC⊥平面SBD， 又， ∴AC⊥SD。 （Ⅱ）连接OP， ， ∴OP⊥SD， 又△SBD中，，且F为SD中点， ∴BF⊥SD， 因为， 所以OP∥BF， 又， ∴BF∥平面PAC。 （Ⅲ）解：存在E，使得BE∥平面PAC； 过F作FE∥PC交PC于E，连接BE，则E为所要求点， ∵FE∥PC，， ∴FE∥平面PAC， 由（Ⅱ）知：BF∥平面PAC，而FE∩BF=F， ∴平面BEF∥平面PAC， ∴BE∥平面PAC， ∵OP∥BF，O为BD的中点， ∴P为FD的中点， 又因为F为SD的中点， ∴，  所以，在侧棱SC上存在点E， 当SE：EC=2：1时，BE∥平面PAC。