Question

(理)已知F₁(-2,0),F₂(2,0),点P满足|PF₁|-|PF₂|=2,记点P的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程;

(2)若直线l过点F₂且与轨迹E交于P、Q两点.

①无论直线l绕点F₂怎样转动,在x轴上总存在定点M(m,0),使MP⊥MQ恒成立,求实数m的值.

②过P、Q作直线x=的垂线PA、QB,垂足分别为A、B,记λ=,求λ的取值范围.

(文)已知等差数列{a_n}中,a₁=-2,a₂=1.

(1)求{a_n}的通项公式;

(2)调整数列{a_n}的前三项a₁、a₂、a₃的顺序,使它成为等比数列{b_n}的前三项,求{b_n}的前n项和.

Answer 1

答案：(理)解:(1)由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|,知点P的轨迹E是以F₁、F₂为焦点的双曲线右支,由c=2,2a=2,∴b²=3.故轨迹E的方程为x²=1(x≥1).

(2)当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-2),P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),与双曲线方程联立消去y,得(k²-3)x²-4k²x+4k²+3=0.

∴

①∵=(x₁-m)(x₂-m)+y₁y₂=(x₁-m)(x₂-m)+k²(x₁-2)(x₂-2)

=(k²+1)x₁x₂-(2k²+m)(x₁+x₂)+m²+4k²

==+m².

∵MP⊥MQ,∴=0.故得3(1-m²)+k²(m²-4m-5)=0对任意的k²＞3恒成立,

∴解得m=-1.∴当m=-1时,MP⊥MQ.

当直线l的斜率不存在时,由P(2,3),Q(2,-3)及M(-1,0),知结论也成立,综上,当m=-1时,MP⊥MQ.

②∵a=1,c=2,

∴直线x=是双曲线的右准线.由双曲线定义,得|PA|=|PF₂|=|PF₂|,|QB|=|QF₂|.

∴λ==.

∵k²＞3,∴0＜＜,故＜λ＜.

注意到直线的斜率不存在时,|PQ|=|AB|,此时λ=.综上,λ=[,).

(文)解：(1)由已知,得a₂-a₁=1-(-2)=3,∴{a_n}的公差d=3.∴a_n=a₁+(n-1)d=-2+3(n-1)=3n-5.

(2)由(1)得a₃=a₂+d=1+3=4,∴a₁=-2,a₂=1,a₃=4.依题意,可得数列{b_n}的前三项为b₁=1,b₂=-2,b₃=4或b₁=4,b₂=-2,b₃=1.

①当数列{b_n}的前三项为b₁=1,b₂=-2,b₃=4时,则q=-2,

∴S_n==[1-(-2)ⁿ].

②当数列{b_n}的前三项为b₁=4,b₂=-2,b₃=1时,则q=-.

∴S_n==[1-(-)ⁿ].