Question

在三角形ABC中，AB=2，AC=

7

，BC=

5

，点D、E分别在边AC，BC上，且

|BE|

|EC|

=

|CD|

|DA|

，则

AE

•

BD

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：首先，根据余弦定理，得到A的余弦值，然后，根据共线条件并结合平面向量基本定理，求解．

解答： 解：△ABC中，由余弦定理，得
cosA=

4+7-5

2×2× 7

=

3 7

14

，
设

|BE|

|EC|

=

|CD|

|DA|

=λ，（0＜λ＜1），
则

BE

=

λ

1+λ

BC

，

AD

=

1

1+λ

AC

，
∴

AE

=

AB

+

BE

=

AB

+

λ

1+λ

BC

，

BD

=

BA

+

1

1+λ

AC

，
∴

AE

•

BD

=(

AB

+

λ

1+λ

AC

)•(-

AB

+

1

1+λ

AC

)，
=-4+3×

1-λ

1+λ

+

7λ

(1+λ)2

=-

7λ2+λ+1

λ2+2λ+1

，
y=-

7λ2+λ+1

λ2+2λ+1

，
故（7+y）λ²+（2y+1）λ+1+y=0，
设f（x）=（7+y）λ²+（2y+1）λ+1+y，
∴

△≥0 0＜- 2y+1 2(7+y) ＜1 f(0)＞0 f(1)＞0

，
∴λ≤-

3

4

，
故答案为：-

3

4

．

点评：本题重点考查了平面的概念、运算和平面向量基本定理等知识，属于中档题．