Question

18．已知函数y=f（x+2）为偶函数，且函数y=f（x）关于点（1，0）中心对称，当x∈（0，1）时，f（x）=2^x-1，则f（log₂24）=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用函数y=f（x+2）为偶函数，可得函数的周期性，利用当x∈（0，1）时，f（x）=2^x-1，即可求出f（log₂24）．

解答 解：∵函数y=f（x+2）为偶函数，
∴f（-x+2）=f（x+2），
∴f（x+4）=f（-x），
∵函数y=f（x）关于点（1，0）中心对称，
∴f（-x）=-f（x+2），
∴f（x+4）=-f（x+2），
∴f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），
∴函数的周期为4，
∵当x∈（0，1）时，f（x）=2^x-1
∴f（log₂24）=f（log₂24-4）=f（log₂$\frac{3}{2}$）=${2}^{lo{g}_{2}\frac{3}{2}}$-1=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数的奇偶性、周期性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．