Question

在数列{a_n}中，a₁=5，a_n+1=3a_n-4n+2，其中n∈N^*．
（1）设b_n=a_n-2n，求数列{b_n}的通项公式；
（2）记数列{a_n}的前n项和为S_n，试比较S_n与n²+2011n的大小．

Answer 1

分析：对于（1）需要对数列递推式a_n+1=3a_n-4n+2进行转化，转化为等差或者等比数列的形式进行解答，针对b_n=a_n-2n的形式设计，可以两边减去2n，于是凑出形式a_n-2n，即：a_n+1-2（n+1）=3（a_n-2n），于是得到一个等比数列{a_n-2n}，很好的完成了转化．
（2）的解答需要利用（1）的结论，求出数列{a_n}的通项公式，进一步求出其前n项的和，再利用作差的思想S_n-（n²+2011n）化成函数（自变量是正整数n）的问题进行讨论即可．

解答：解：（1）由a_n+1=3a_n-4n+2得a_n+1-2（n+1）=3（a_n-2n），
又a₁-2=1≠0，a_n-2n≠0，得

an+1-2(n+1)

an-2n

=3，
所以，数列{a_n-2n}是首项为3，公比为3的等比数列，
所以，b_n=3ⁿ．
（2）a_n-2n=3ⁿ?a_n=2n+3ⁿ，Sn=

3

2

(3n-1)+n(n+1)，Sn-(n2+2011n)=

3

2

(3n-1)-2010n=

3

2

(3n-1340n-1)．
设c_n=3ⁿ-1340n-1，
由于c_n+1-c_n=2•3ⁿ-1340
当n＜6时，c_n+1＜c_n
当n≥6时，c_n+1＞c_n
即，当n＜6时，数列{c_n}是递减数列，当n≥6时，数列{c_n}是递增数列
又c₁=-4018＜0，c₈=-4160＜0，c₉=7622＞0
所以，当n≤8时，S_n＜n²+2011n；
所以，当n＞8时，S_n＞n²+2011n．

点评：本题很好的考查了数列的知识，有深度，一定的综合度，对数列的递推公式考查既基本又有一定的难度，技巧，符合数列知识的教学目标，总之本题综合考查等差等比数列的内容及其转化问题，同时又综合考查了函数的知识，分类讨论的思想的应用．