Question

等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁+3a₂=1，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，记数列的前n项和为T_n．若对于?n∈N^*，恒有成立，其中m∈N^*，求m的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，依题意，列出关于首项a₁与公比q的方程组，解之即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）按照比数列{a_n}的前n项和公式求之即可；
（3）求得数列{}的前n项和为T_n，对于?n∈N^*，恒有成立，其中m∈N^*，即可求得m的最小值．
解答：解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，则，解得a₁=，q=，
∴a_n=；
（2）∴数列{a_n}的前n项和S_n==（1-）；
（3）∵b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=-1-2-…-n=-，
∴=-=-2（-），
∴T_n=-2[（1-）+（-）+…+（-）]
=-2（1-）=-．
∵T_n＞恒成立，
即-＞恒成立，又m∈N^*，
∴m＞2011-恒成立，
∴m_min=2011．
点评：本题考查数列的求和，考查等比数列的通项公式与求和公式的综合应用，属于中档题．