Question

(09 年石景山区统一测试理)（14分）

如图，已知正三棱柱―的底面边长是，是侧棱的中点，直线

与侧面所成的角为．

   （Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；

   （Ⅱ）求二面角的大小；

   （Ⅲ）求点到平面的距离．

Answer 1

解析：解法一：

   （Ⅰ）设正三棱柱―的侧棱长为．取中点，连结．

       ∵ 是正三角形，∴ ．

 又底面侧面，

 且两平面交线为，

       ∴ 侧面．

连结，则为直线与侧面所成的角．

       ∴ ．                                        ………………2分

       在中，，解得．

       ∴ 此正三棱柱的侧棱长为．                            ………………4分

 （Ⅱ）过作于，连结．

∵ 侧面，∴ 是在平面内的射影．

由三垂线定理，可知．

  ∴ 为二面角的平面角．                  ………………6分

       在中，，又，

       ，   ∴ ．

       又，

       ∴ 在中，．                   ………………8分

       故二面角的大小为．                    ………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，平面，

       ∴ 平面平面，且交线为，

       过作于，则平面．

       ∴ 的长为点到平面的距离．                    ………………10分

       在中，．     …………12分

       ∵ 为中点，∴ 点到平面的距离为．  …………14分

解法二：

       （Ⅰ）同解法一．

       （Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系．

 

则．

       设为平面的法向量．

       由，

       得．

       取．                                         …………6分

       又平面的一个法向量．                         …………7分

       ∴ ． …………8分

       结合图形可知，二面角的大小为．         …………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ），，．            …………10分

       ∴ 点到平面的距离

．

    ∴ 点到平面的距离为．                           …………14分