Question

已知“接龙等差”数列a₁,a₂,…,a₁₀,a₁₁,…,a₂₀,a₂₁,…,a₃₀,a₃₁,…构成如下:a₁=1,a₁,a₂,…,a₁₀是公差为1的等差数列;a₁₀,a₁₁,…,a₂₀是公差为d的等差数列;a₂₀,a₂₁,…,a₃₀是公差为d²的等差数列;…;a_10n,a_10n+1,a_10n+2,…,a_10n+10是公差为dⁿ的等差数列(n∈N^*);其中d≠0.

(1)若a₂₀=80,求d;

(2)设b_n=a_10n,求b_n;

(3)当d＞-1时,证明对所有奇数n总有b_n＞5.

Answer 1

(1)解:由a₁,a₂,…,a₁₀是首项为1,公差为1的等差数列得a₁₀=10,a₁₀,a₁₁,…,a₂₀是公差为d的等差数列得a₂₀=a₁₀+10d=10+10d=80,解得d=7.

(2)解:由题意有a₂₀=a₁₀+10d,a₃₀=a₂₀+10d²,a₄₀=a₃₀+10d³,

a₁₀n=a₁₀(n-1)+10d^n-1.

累加得a₁₀n=a₁₀+10d+10d²+…+10d^n-1=10+10d+10d²+…+10d^n-1,

所以b_n=10+10d+10d²+…+10d^n-1=

(3)证明:设n为奇数,当d∈(0,+∞)时b_n=10+10d+10d²+…+10d^n-1＞10,

当d∈(-1,0)时,b_n=,由1＜1-d＜2及1-dⁿ＞1,

有b_n=＞=5.

综上所述,当n为奇数且d＞-1时,恒有b_n＞5.