Question

某同学在一次研究性学习中发现，以下四个不等式都是正确的：
①（1²+4²）（9²+5²）≥（1×9+4×5）²；
②[（-6）²）+8²]×（2²+12²）≥[（-6）×2+8×12]²
③[（6.5）²+（8.2）²]×[（2.5）²+（12.5）²]≥[（6.5）×（2.5）+（8.2）×（12.5）]²
④（20²+10²）（102²+7²）≥（20×102+10×7）²．
请你观察这四个不等式：
（Ⅰ）猜想出一个一般性的结论（用字母表示）；
（Ⅱ）证明你的结论．

Answer 1

分析：寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件已经显然具备为止．

解答：解：（Ⅰ）观察所给的4个等式，猜想出一个一般性的结论（用字母表示）：（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，（ a，b，c，d∈R ）
（Ⅱ）证明：要证 （a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，
只要证 a²•c²+a²d²+b²c²+b²d²≥a²c²+b²d²+2abcd，
只要证 a²d²-2abcd+b²c²≥0，
只要证 （ad-bc）²≥0．
而 （ad-bc）²≥0显然成立，故要证的不等式成立．

点评：本题主要考查用分析法证明不等式，关键是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件已经显然具备为止，体现了转化的数学思想，属于中档题．