Question

20．设圆C的极坐标方程为ρ=2，以极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，两坐标系长度单位一致，建立平面直角坐标系．过圆C上的一点M（m，s）作垂直于x轴的直线l：x=m，设l与x轴交于点N，向量$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）设点R（1，0），求$|{\overrightarrow{RQ}}|$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得N是坐标（m，0），设出Q（x，y），由$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，得到M的坐标与Q坐标的关系，然后利用M在ρ=2上求得动点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）写出Q的参数方程，利用两点间的距离公式得到$|{\overrightarrow{RQ}}|$，然后利用配方法求最值．

解答 解：（Ⅰ）由已知得N是坐标（m，0），
设Q（x，y），由$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，得
$\left\{\begin{array}{l}{x=2m}\\{y=s}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{x}{2}}\\{s=y}\end{array}\right.$，
∵点M在圆ρ=2上，即在m²+s²=4上，
∴$\frac{x^2}{4}+{y^2}=4$，
∴Q是轨迹方程为 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$；
（Ⅱ）Q点的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=4cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$，
∴$|{\overrightarrow{RQ}}|=\sqrt{{{（4cosθ-1）}^2}+4{{sin}^2}θ}=\sqrt{12{{cos}^2}θ-8cosθ+5}=\sqrt{12{{（cosθ-\frac{1}{3}）}^2}+\frac{11}{3}}$
$≥\sqrt{\frac{11}{3}}=\frac{{\sqrt{33}}}{3}$．
则$|{\overrightarrow{RQ}}|$的最小值为$\frac{{\sqrt{33}}}{3}$．

点评 本题考查简单曲线的极坐标方程，训练了利用代入法求动点的轨迹方程，训练了利用配方法求最值，是中档题．