Question

(2006安徽，22)如图所示，F为双曲线的右焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点．已知四边形OFPM为平行四边形，．

(1)写出双曲线C的离心率e与λ的关系式；

(2)当λ=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=12，求此时的双曲线方程．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)设为PM与双曲线右准线的交点，F(c，0)，则|PM|=|OF|=c，|OM|=|PF|=λc． ∵， ， ∴．即． (2)当λ=1时，由，解得e=2， 从而c=2a，． 由此得双曲线的方程是． 下面确定a的值． 设双曲线左准线与x轴的交点为N，P点的坐标为，则 ， ． 由于在双曲线的右支上，且位于x轴上方，因而 ， ． 所以直线OP的斜率为． 设过焦点F且平行于OP的直线与双曲线的交点为，则直线AB的斜率为，直线AB的方程为． 将其代入双曲线方程整理得 ． ∵，， =12a． 由|AB|=12得a=1．于是，所求双曲线的方程为．