(本小题满分13分)(第一问8分,第二问5分)
已知函数f(x)=2lnx,g(x)=ax2+3x.
(1)设直线x=1与曲线y=f(x)和y=g(x)分别相交于点P、Q,且曲线y=f(x)和y=g(x)在点P、Q处的切线平行,若方程f(x2+1)+g(x)=3x+k有四个不同的实根,求实数k的取值范围;
(2)设函数F(x)满足F(x)+x[f′(x)-g′(x)]=-3x2-(a+6)x+1.其中f′(x),g′(x)分别是函数f(x)与g(x)的导函数;试问是否存在实数a,使得当x∈(0,1]时,F(x)取得最大值,若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
解:(1)f′(1)=2,且P(1,0),∴f(x)在P点处的切线方程为y=2(x-1),
即2x-y-2=0…………………………………………………………………………(2分)
又g′(1)=a+3,∴a=-1.…………………………………………………………(3分)
故g(x)=-x2+3x,则方程
f(x2+1)+g(x)=3x+k可化为
ln(x2+1)-x2=k.令y1=ln(x2+1)-
x2,则
=
-x=-
令=0得x=-1,0,1.因此
及y的变化情况如下表:
x |
(-∞,-1) |
-1 |
(-1,0) |
0 |
(0,1) |
1 |
(1,+∞) |
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
y |
|
极大值 |
|
极小值 |
|
极大值 |
|
且(y1)极大值=ln2-,(y1)极小值=0.……………………………………………………(6分)
又∵方程有四个不同实数根,函数y=ln(x2+1)-x2为偶函数,且当x2+1=e3(x=
>1)时,ln(x2+1)-
x2=3-
(e3-1)=
-
e3<0=(y1)极小值,所以0<k<ln2-
.……………………………………………………………………………………………(8分)
(2)∵F(x)+x[f′(x)-g′(x)]=-3x2-(a+6)x+1.
∴F(x)=(a-3)x2-(a+3)x-1.………………………………………………………(9分)
①当a=3时,F(x)=-6x-1在(0,1]上是减函数,可知F(x)取不到最大值.
②当a<3时,F(x)的对称轴为x=,若x∈(0,1]时,F(x)取得最大值.则
>0解得a<-3或a>3,从而a<-3.
③当a>3时,若x∈(0,1]时,F(x)取得最大值,则<
时,此时a∈
.
综上所述,存在实数a∈(-∞,-3),使得当x∈(0,1]时,F(x)取得最大值.……(13分)
【解析】略
科目:高中数学 来源:2015届江西省高一第二次月考数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分13分)已知函数.
(1)求函数的最小正周期和最大值;
(2)在给出的直角坐标系中,画出函数在区间
上的图象.
(3)设0<x<,且方程
有两个不同的实数根,求实数m的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年福建省高三年级八月份月考试卷理科数学 题型:解答题
(本小题满分13分)已知定义域为的函数
是奇函数.
(1)求的值;(2)判断函数
的单调性;
(3)若对任意的,不等式恒成立
,求k的取值范围.
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科目:高中数学 来源:河南省09-10学年高二下学期期末数学试题(理科) 题型:解答题
(本小题满分13分)如图,正三棱柱的所有棱长都为2,
为
的中点。
(Ⅰ)求证:∥平面
;
(Ⅱ)求异面直线与
所成的角。www.7caiedu.cn
[来源:KS5
U.COM
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年福建省高三5月月考调理科数学 题型:解答题
(本小题满分13分)
已知为锐角,且
,函数
,数列{
}的首项
.
(1) 求函数的表达式;
(2)在中,若
A=2
,
,BC=2,求
的面积
(3) 求数列的前
项和
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