Question

（Ⅰ）已知a＞0b＞0，c＞0，求证：a（b²+c²）+b（a²+c²）+c（a²+b²）≥6abc．
（Ⅱ）已知a≥3，求证：

a

-

a-1

＜

a-2

-

a-3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据a²+b²≥2ab，c＞0得到c（a²+b²）≥2abc；同理可得b（a²+c²）≥2abc；a（b²+c²）≥2abc；再根据同向不等式可以相加的性质即可证明不等式．
（Ⅱ）采用分析法来证，先把不等式转化为：

a

+

a-3

＜

a-2

+

a-1

，两边平方，整理后得到一恒成立的不等式即可．

解答：证明：（Ⅰ）∵a²+b²≥2ab，c＞0
∴c（a²+b²）≥2abc，
同理可得：b（a²+c²）≥2abc；
：a（b²+c²）≥2abc．
上面三个不等式相加可得：a（b²+c²）+b（a²+c²）+c（a²+b²）≥6abc．
原命题得证．
（Ⅱ）要证：

a

-

a-1

＜

a-2

-

a-3

．
即证：

a

+

a-3

＜

a-2

+

a-1

，
须证：2a-3+2

a(a-3)

＜2a-3+

(a-1)(a-2)

转化为证：a²-3a＜a²-3a+2
而上式恒成立．
所以原命题得证．

点评：本题主要考查不等式的证明．第二问的证明用到了分析法，分析法是从要证明的结论出发，一步步相前推，得到一个恒成立的不等式，或明显成立的结论即可．