Question

6．已知对任意n∈N，有a_n＞0且$\sum_{i=1}^{n}{{a}_{i}}^{3}$=（$\sum_{i=1}^{n}{a}_{i}$）²，求证：a_n=n．

Answer 1

分析 通过数学归纳法证明即可．

解答 证明：下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时，显然成立；
②假设当n=k（k≥2）时，a_k=k，
则当n=k+1时，$\sum_{i=}^{k+1}$${{a}_{i}}^{3}$=1+2³+3³+…+k³+${{a}_{k+1}}^{3}$=$\frac{{k}^{2}（k+1）^{2}}{4}$+${{a}_{k+1}}^{3}$，
$（\sum_{i=1}^{k+1}{a}_{i}）^{2}$=$[\frac{k（k+1）}{2}+{a}_{k+1}]^{2}$=$\frac{{k}^{2}（k+1）^{2}}{4}$+k（k+1）•a_k+1+${{a}_{k+1}}^{2}$，
从而${{a}_{k+1}}^{3}$=k（k+1）•a_k+1+${{a}_{k+1}}^{2}$，
整理得：a_k+1[${{a}_{k+1}}^{2}$-a_k+1-k（k+1）]=0，
解得：a_k+1=k+1或a_k+1=-k（舍）或a_k+1=0（舍），
即当n=k+1时，命题成立；
由①、②可知，a_n=n．

点评 本题考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．