Question

设椭圆C：

x2

λ+1

+y2=1（λ＞0）的两焦点是F₁，F₂，且椭圆上存在点P，使

PF1

•

PF2

=0
（1）求实数λ的取值范围；
（2）若直线l：x-y+2=0与椭圆C存在一公共点M，使得|MF₁|+|MF₂|取得最小值，求此最小值及此时椭圆的方程．
（3）在条件（2）下的椭圆方程，是否存在斜率为k（k≠0）的直线?，与椭圆交于不同的两点A、B，满足

AQ

=

QB

，且使得过点Q，N（0，-1）两点的直线NQ满足

NQ

•

AB

=0？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由

PF

1•

PF2

=0可得|PF₁|²+|PF₂|²=4λ，再结合基本不等式列不等关系，即可解得实数λ的取值范围；
（2）将直线的方程与椭圆C的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据△≥0得λ的取值范围，最后根据函数的值域求出|MF₁|+|MF₂|取得最小值及此时椭圆的方程即可；
（3）设两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点Q（x，y），先将A，B两点的坐标代入椭圆方程，两式相减得Q（x，y）的轨迹方程，再求出求得点Q的坐标，最后根据Q在椭圆内即可求出k的取值范围．

解答：解（1）由椭圆定义可得：|PF1|+|PF2|=2

λ+1

由

PF

1•

PF2

=0可得|PF₁|²+|PF₂|²=4λ
而|PF1|2+|PF2|2≥

(|PF1|+|PF2|)2

2

∴4λ≥2（λ+1）解得λ≥1（3分）．
（2）由x-y+2=0，

x2

λ+1

+y2=1，得（λ+2）x²+4（λ+1）x+3（λ+1）=0
△=16（λ+1）²-12（λ+2）（λ+1）=4（λ+1）（λ-2）≥0•
解得λ≥2或λ≤-1（舍去）∴λ≥2此时|MF1|+|MF2|=2

λ+1

≥2

3

当仅当λ=2时，|MF₁|+|MF₂|取得最小值2

3

，此时椭圆方程为

x2

3

+y2=1（8分）
（3）由

AQ

=

QB

知点Q是AB的中点．设两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点Q（x，y），则

x12

3

+y12=1

x22

3

+y22=1两式相减得

(x 1+x2)(x1-x2)

3

+(y1-y2)(y1+y2)=0
∴

y2-y1

x2-x1

=-

x2+x1

3(y2+y1)

∴AB中点Q（x，y）的轨迹为直线y=-

1

3k

x①
且在椭圆内的部分．又由

NQ

•

AB

=0可知，NQ⊥AB，
所以直线NQ的斜率为-

1

k

，方程为y=-

1

k

x-1②
联立①、②可求得点Q的坐标为(-

3k

2

，

1

2

)
∵点Q必在椭圆内，

(- 3k 2 )2

3

+(

1

2

)，1，解得k²＜1
又∵k≠0，∴k∈（-1，0）∪（0，1）（12分）

点评：本题主要考查了椭圆的定义和标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题、平面向量数量积的运算等．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．