Question

在正四棱锥S—ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC.

（1）指出动点P的轨迹（即说明动点P在满足给定的条件下运动时所形成的图形），证明你的结论;

（2）以轨迹上的动点P为顶点的三棱锥P－CDE的最大体积是正四棱锥S—ABCD体积的几分之几？

（3）设动点P在G点的位置时三棱锥P－CDE的体积取最大值V₁，二面角G—DE—C的大小为α，二面角G—CE—D的大小为β，求tanα∶tanβ的值；

（4）若将“E是BC的中点”改为“E是BC上异于B、C的一定点”，其他条件不变，请指出点P的轨迹，证明你的结论.

Answer 1

解：（1）如图，分别取CD、SC的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD.设AC与BD的交点为O，连结SO，则动点P的轨迹是△SCD的中位线FG.

由正四棱锥可得SB⊥AC,EF⊥AC.又∵EG∥SB,∴EG⊥AC,

∴AC⊥平面EFG，∵P∈FG,E∈平面EFG，

∴AC⊥PE.

（2）由于S_△CDE是定值，所以当P到平面CDE的距离最大时，V _P—CDE最大，易知当P与G重合时，P到平面CDE的距离最大，

故(V_P—CDE) _max=V_G—CDE,又S_△CDE=S_{正方形ABCD}，

G到平面ABCD的距离是点S到平面ABCD的距离的，

∴(V_P—CDE) _max=V_G—CDE=V_S—ABCD.

（3）令AB=a,EF与AC交于N点，连结GN，则GN⊥平面ABCD.因此二面角G—DE—C和二面角G—CE—D的平面角的正切值的比就等于N到DE和CE的距离的倒数比.

∵N是OC的中点，∴N到BC的距离为a.

连结DE交OC于M，则M是△DBC的重心，∴MN=.

又ME=a，NE=,

在Rt△MNE中，容易求得N到DE的距离为.

故tanα∶tanβ=∶1.

（4）动点P在侧面SCD内部及其边界上运动，且总保持PE⊥AC，那么这些相交于定点E的直线系应位于某个与直线AC垂直的平面内，而由正四棱锥的性质可知，AC⊥平面SBD，因此动直线PE集中在过E且平行于平面SBD的一个平面内.过E作EG′∥SB，EF′∥BD，分别交SC于G′，交CD于F′，则平面EF′G′∥平面SBD，从而AC⊥平面EF′G′，故点P的轨迹是线段F′G′.