Question

已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。

求椭圆C的方程；

E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

 

Answer 1

【答案】

（1）．（2）直线EF的斜率为定值，其值为。

【解析】

试题分析：（1）由题意，c＝1,可设椭圆方程为。

因为A在椭圆上，所以，解得＝3，＝（舍去）。

所以椭圆方程为 ．   　　　　　　6分

（2）设直线AE方程：得，代入得

设E（，），F（，）．因为点A（1，）在椭圆上，所以

，

。　　　　　　　　　　　9分

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得

，

。

所以直线EF的斜率。

即直线EF的斜率为定值，其值为。           13分

考点：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆的位置关系。

点评：中档题，本题求椭圆的标准方程，主要运用的椭圆的几何性质，注意明确焦点轴和a,b,c的关系。研究直线与圆锥曲线的位置关系，往往应用韦达定理，通过“整体代换”，简化解题过程，实现解题目的。