Question

已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂．
（Ⅰ）若椭圆的焦距为，且两条准线间的距离为，求椭圆的方程；
（Ⅱ）在（I）的条件下，椭圆上有一点M，满足MF₁⊥MF₂，求△MF₁F₂的面积；
（Ⅲ）过焦点F₂作椭圆长轴的垂线与椭圆交于第一象限点P，连接PO并延长交椭圆于点Q，连接QF₂并延长交椭圆于点H，若PH⊥PQ，求椭圆的离心率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由椭圆的焦距可求c，再由两条准线间的距离为可求a，利用条件b²=a²-c²求出b²，则椭圆的方程可求；
（Ⅱ）因为点M在椭圆上，利用椭圆定义得到MF₁+MF₂=4，由MF₁⊥MF₂得到两式联立得到MF₁•MF₂=2，则△MF₁F₂的面积可求；
（Ⅲ）首先求出P点坐标，利用对称性求出Q点坐标，写出直线QF₂的方程后和椭圆联立求出H的坐标，然后利用PH和PQ所在直线的斜率之积等于-1得到a，b的关系式，则离心率可求．
解答：解：（Ⅰ）由题意可知，∴，
由，得a²==4，
∴b²=a²-c²=4-3=1．
即椭圆的方程为；
（Ⅱ）由椭圆定义得MF₁+MF₂=4 ①
因为MF₁⊥MF₂，所以 ②
将①²-②：得MF₁•MF₂=2
故△MF₁F₂的面积=1；      
（Ⅲ）把x=c代入椭圆，得，
所以点P的坐标为，则，F₂（c，0），
直线QF₂方程为，即，
与椭圆联立得H点坐标为，
由PH⊥PQ得，k_PQ•k_PH=-1，即，
化简得a²=2b²，
即 a²=2（a²-c²），即 ，又0＜e＜1，所以．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，该题思路清晰，运算复杂，考查了学生的运算能力．属难题．