Question

（本题满分14分）已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=，N为AB上一点，AB=4AN， M,S分别为PB,BC的中点.

（Ⅰ）证明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析；（2）45°.

【解析】第一问中，利用建立空间直角坐标系，结合数量积为零来判定线线的垂直关系

第二问中，在第一问的基础上，分别求解得到平面MCN的法向量，然后得到直线SN的方向向量，利用法向量与方向向量来求解线面角的大小。

证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。

则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0）.……4分

（Ⅰ）,

因为，所以CM⊥SN  ……6分

（Ⅱ）,设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，

则         ……9分

因为所以SN与平面CMN所成角为45°。…14分