Question

设A(7，1)，B(1，5)，P(7，14)为坐标平面上三点，0为坐标原点，点M为线段OP上的一个动点．

 (I)求向量在向量方向上的投影的最小值；    ．

 (II)当?取最小值时，求点M的坐标；

 (III)当点M满足(2)的条件和结论时，求cos∠AMB的值．

Answer 1

解：(I)设M(x，y)  ∵点M在线段OP上

    ∴o≤x≤7，且向量与商共线

    又=(x，y)， =(7，14)

   ∴14x一7y=0  ∴．Y=2x．∴M(x，2x)

 　∴＝(7，1)一(x，2x)=(7--x，1―2x)　 = (1，5)一(7，1)=(一6，4)

   ∴在向量方向上的投影为：

   =

   ∴0≤x≤7   ∴当x=7时，所求投影的最小值为

 (Ⅱ)由(I)知=(7一x，1―2x)

    又=(1，5)一(x，2x)=(1―x,5―2x)

   ∴?=(7--x，1―2x)?(1一x，5―2x)

     =(7--x) (1一x+(1―2x)(5―2x)

     =5--8

当x=2∈(0,7)时?取最小值一8，此时点M(2，4)．

(Ⅲ)由(1I)知，=(5，一3)，=(一1，1)

Cos∠AMB＝＝