Question

在数列{a_n}中，a_n＞0，且满足Sn=

1

2

(an+

1

an

)(n∈N*)．
（Ⅰ）求出a₁，a₂，a₃
（II）猜想数列通项{a_n}，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分别令n=1，2，3，由a_n＞0，且满足Sn=

1

2

(an+

1

an

)(n∈N*)，能够求出a₁，a₂，a₃．
（II）猜想an=

n

-

n-1

，然后由数学归纳法进行证明．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n＞0，且满足Sn=

1

2

(an+

1

an

)(n∈N*)，
∴S1=a1=

1

2

(a1+

1

a1

)
由此能解得a₁=1，a₁=-1（舍）．
s2=1+a2=

1

2

(a2+

1

a2

)，
∴a₂²+2a₂-1=0，
解得a2=

2

-1，a2=-

2

-1（舍）
S3=

2

+a3=

1

2

(a3+

1

a3

)，
a32+2

2

a3 -1=0，
解得a3=

3

-

2

，a3=-

3

-

2

（舍）
∴a1=1，a2=

2

-1，a3=

3

-

2

（II）猜想an=

n

-

n-1

．
①当n=1时，a₁=1，等式成立．
②假设n=k时，等式成立，即ak=

k

-

k-1

，
当n=k+1时，Sk+1=Sk+ak+1=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)，
∴

k

+ak+1=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)，
ak+12+2

k

ak+1-1=0，
解得ak+1=

k+1

-

k

，ak+1=-

k+1

-

k

（舍）
故当n=k+1时，等式成立．
由①②知，an=

n

-

n-1

．

点评：第（Ⅰ）题考查数列中前三项的求法，求解时要注意函数思想的应用；第（II）题考查归纳总结的能力和数学归纳法的证明．解题时要认真审题，仔细解答．